Condition suffisante d'ordre 2 - Math'φsics

Condition suffisante d'ordre 2

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Condition suffisante du deuxième ordre (1) :
\(J\) est différentiable en \(x\)

\(dJ(x)=0\)

\(d^2J(x)\) existe

\(\exists\alpha\gt 0\) tq \(d^2J(x)(h,h)\geqslant\alpha\lVert h\rVert^2_E\) pour tout \(h\in E\)

$$\Huge\iff$$

\(x\) est un Minimum local strict de \(J\)
Condition suffisante du deuxième ordre (2) :
\(J\) est différentiable en \(x\)

\(dJ(x)=0\)

il existe \(B\) Ouvert contenant \(x\) tq \(J\) est deux fois différentiable sur \(B\) et \(d^2J(y)(h,h)\geqslant0\) pour tout \(y\in B\) et \(h\in E\)

$$\Huge\iff$$

\(x\) est un Minimum local de \(J\)
Exercices

On fait un développement limité à l'ordre \(2\).

L'inégalité nous permet de conclure.

On utilise une formule du type Taylor-Lagrange, ce qui nous permet de conclure.